blogger pi calculator
 

קומבינטוריקה

מוטיבציה

הרעיון הכללי בחישוב הסתברות של מאורע הוא די פשוט. לוקחים את כל האפשרויות שאנחנו רוצים לחשב את ההסתברות להן
ומחלקים בכל האפשרויות שיש. אולם אחת הבעיות המרכזיות שיש בתורת ההסתברות היא דווקה לספור את כל האפשרויות,
בהינתן ניסוי מסויים.
לדוגמה: מטילים 4 קוביות משחק, מה הסיכוי שבכל 4 ההטלות נקבל מספר זוגי.
הבעיה המרכזית בחישוב הסתברות זו היא לדעת מהן כל האפשרויות להטלת 4 קוביות ומהן כל האפשרויות
להטלת כל הקוביות כך שיתקבל מספר זוגי בכולן.
תורת הקומבינתוריקה באה לעזור לנו בבעיות מסוג זה.

תמורות

כמה אפשרויות שונות ניתן לסדר 5 תלמידים בשורה ?
הפתרון לבעיה זו די אינטואיטיבי. למקום הראשון בשורה ניתן לבחור 5 תלמידים.
למקום השני ניתן לבחור 4 תלמידים ( מכיוון שאחד כבר בחרנו למקום הראשון ).
למקום השלישי ניתן לבחור 3 תלמידים וכן הלאה... לכן מס' האפשרויות לסדר 5 תלמידים בשורה הוא:

לכן עבור המקרה הכללי, כאשר יש n איברים ורוצים לדעת בכמה אופנים ניתן לסדר אותם בשורה הוא:

הסימן ! נקרא עצרת והוא מוגדר באופן הבא:

תמורות במעגל

במידה ואיברים מסודרים במעגל נשתמש בנוסחה הבאה:

תמורות עם קבוצות זהות

כעת נדגים מצב שבו מתוך קבוצת האיברים שאותם אנו רוצים לסדר בשורה יש קבוצות שבהן איברים זהים.
במידה ויש n פריטים. ו a מתוכם זהים, b מתוכם זהים ו c מתוכם זהים.

חליפות

במקרה שבו יש מאגר של n איברים וצריך לבחור מתוכו קבוצה של k איברים, כך שיש חשיבות לסדר הבחירה.
כלומר עבור כל קבוצה של k איברים יכולות להיות מספר אפשרויות לגבי סדר הבחירה שלהם.

לדוגמה: כמות המספרים התלת ספרתיים שניתן להרכיב מהספרות 1,2,3,4,5,6 כך שכל ספרה תופיע רק פעם אחת.
  • במקרה זה מדובר בחליפות משום שהאפשרות 123 שונה מהאפשרות 321.

נשתמש בנוסחה הבאה כדי לדעת את מספר האפשרויות:

צירופים

במקרה שבו יש מאגר של n איברים וצריך לבחור מתוכו קבוצה של k איברים, כך שאין חשיבות לסדר הבחירה.
כלומר כל קבוצה של k איברים נחשבת לאפשרות אחת.

לדוגמה: בהגרלת הלוטו צריך לסמן 6 מספרים מתוך 1-47 המספרים שיש בטור. כמה אפשריוית שונות יש?.
  • במקרה זה מדובר בצירופים משום שהאפשרות 123456 זהה לאפשרות 654321.

נשתמש בנוסחה הבאה כדי לדעת את מספר האפשרויות: