blogger pi calculator
 

התפלגות נורמלית

מוטיבציה

ההתפלגות הנורמלית היא בעלת חשיבות מיוחדת ויש לה שימושים רבים במגוון רחב של תחומים.
הסיבה לכך נעוצה בעובדה שניתקלים בה בהרבה מקרים ושהיא מאוד נפוצה בטבע.
הרעיון המרכזי של ההתפלגות נובע ממשפט הגבול המרכזי שקובע שאם דוגמים מאוכלוסיה קבוצה של n דגימות,
ומחשבים את הממוצע של הקבוצה שדגמנו.
נקבל הסתברות גבוהה שהממוצע של הקבוצה שדגמנו, תיהיה קרובה לממוצע של האוכלוסיה שממנה נלקח המדגם.
והסתברות שהולכת ופוחתת לכך שממצוע של הקבוצה יהיה רחוק מהממוצע של האוכלוסיה.

אם לדוגמה נדגום קבוצה של 100 אנשים מישראל ונמדוד את הגובה שלהם. סביר שאם נעשה ממוצע לגבהים של 100 האנשים
נקבל שהוא קרוב מאוד לגובה הממוצע בישראל. ומנגד יש סיכוי קטן ביותר שממוצע הגבהים של כל 100 האנשים יהיה ממש רחוק
מהממוצע בישראל.

הגדרה

נגדיר שהמשתנה x מתפלג נורמלי. ונסמן:

כלומר x מתפלג נורמלי אם תוחלת:

ושונות:

סטיית התקן היא השורש הריבועי של בשונות ולכן תסומן:

הגרף שיתאר את x יתואר באופן הבא:

הגרף מציג התפלגות של משתנה מקרי רציף. כך שההסתברות של המשתנה המקרי להיות גדול
מערך מסויים שווה לשטח התחום בין גרף הפונקציה לציר האנכי עד לאותו ערך.

היות ואין לנו את היכולת לחשב שטח זה ואנחנו רוצים לדעת את ההסתברות ש x קטן מערך מסויים. אנחנו בבעיה.
הפתרון האפשרי הוא להשתמש בטבלה שתכיל את האפשריוית הנפוצות עבור כל הסתברות.
בפתרון זה ישנה בעיה, היות ולכל x נצטרך טבלה אחרת.
לדוגמה: עבוד מדידה של גבהים של אנשים נצטרך טבלה שהממוצע שלה יהיה סביב 1.7 מטר,
ןסטיית התקן שלה תיהיה 0.4 מטר.
ועבור טבלה של מנת מסכל נצטרך טבלה שהממוצע שלה יהיה סביב 100, ושסטיית התקן שלה תיהיה 20.

הפתרון הוא להחסיר מהמשתנה המקרי x את התוחלת של האוכלוסיה
ולחלק בסטיית התקן חלקי שורש מספר הדגימות, כך נקבל משתנה מקרי חדש שמבטא את מידת החריגות של אותה דגימה.

התפלגות זו יכולה להיות מייוצגת ע"י טבלה אחידה ללא תלות באופי המשתנה המקרי.
ןלכן מספיק לנו טבלה אחת שמכילה את כל הערכים הנפוצים ברירוב מסויים, כדי לחשב את ההסתברות ש x
יהיה קטן מערך מסויים.

ההתפלגות של המשתנה המקרי החדש תראה כך:

וההסתברות שהמשתנה המקרי החדש:

קטן מהערך:

תיהיה השטח בין גרף הפונקציה לציר האופקי ממינס אינסוף עד הערך:

כלומר: